Il Risk Parity nei Portafogli Statici

I portafogli con strategia statica sono quelli creano maggiore interesse, con un buon equilibrio tra i risultati e l’impiego richiesto per gestirli. Nell’articolo Portafogli Statici e Fogli Elettronici abbiamo visto come sia possibile utilizzare un foglio elettronico per simulare un portafoglio statico composto da quattro classi di investimento, con tanto di ribilanciamento annuale per avere delle simulazioni più aderenti alla realtà. Nel secondo appuntamento invece, Le Combinazioni di Portafoglio, abbiamo esplorato quattro combinazioni tipiche, che possiamo riepilogare di seguito:

• Il portafoglio a minima volatilità è quello che presenta il rischio minore, ma soffre di eccessiva concentrazione di poche classi di investimento, tipicamente obbligazionarie.
• Rendimento/Rischio introduce il rendimento nella sua metodologia, risolvendo il problema della concentrazione ma inserendo una marcata sensibilità che lo porta ad essere instabile nel tempo.
• Equipesato fa un ulteriore passo in avanti e ha risultati più consistenti nel tempo, garantendo un ottima diversificazione tra le classi di investimento. Il lato negativo è un rischio molto sbilanciato verso le classi più volatili, come l’azionario.
• Risk Parity ha gli stessi vantaggi di equipesato e in più risolve il problema dello sbilanciamento del rischio. Di contro, il rendimento atteso non è mai più alto di equipesato.

Arrivati a questo punto, dei quattro portafogli di riferimento che abbiamo analizzato lasciamo sotto la nostra lente di ingrandimento Equipesato e Risk Parity, con un focus particolare su quest’ultimo che sarà anche il protagonista del nostro articolo.

È curioso notare come l’approccio di Risk Parity richiami verso di sé un grande interesse da parte di tutti gli investitori, dai retail fino ai gestori di fondi e consulenti, ma nel contempo solo in pochi ne conoscono il funzionamento e la maggior parte di questi sono relegati in un ambiente accademico. Una cortina di mistero avvolge Risk Parity e forse il suo fascino risiede proprio in questo, un prodotto dell’ingegneria finanziaria con una apparente cripticità che ne alza l’aspettativa decretandolo come il portafoglio perfetto ed infallibile.

Tentativi di descriverlo al grande pubblico non mancano in rete, ma tra quelli che ho letto nessuno mi ha soddisfatto in pieno, mentre gli articoli che affrontano seriamente il discorso hanno un taglio prettamente universitario e richiedono delle solide conoscenze di matematica per essere comprese in pieno.

Forse con un po’ di temerarietà e un pizzico di superbia, mi voglio lanciare nel tentativo di spiegare a tutti cosa c’è dietro Risk Parity. A dimostrazione della mia sicurezza nel trattare questo argomento, ho deciso di mettere a disposizione un file Excel che permetterà a chiunque di potersi cimentare con l’approccio di Risk Parity, ma soprattutto di toccare con mano le formule che ci sono dentro le celle e scoprirne così il funzionamento.

Il prossimo paragrafo è pensato per chi ha delle nozioni di algebra lineare e di analisi matematica, dove vedremo il modello per equilibrare i contributi al rischio di portafoglio, tutti gli altri possono tranquillamente saltarlo e passare subito al file Excel.

Il Modello Matematico

Per prima cosa, diamo le seguenti definizioni:

• Abbiamo un portafoglio statico composto da n titoli e con una allocazione di capitale X=(x₁, …, x_n) in modo tale che sum(x_i=1).
• Degli N titoli che compongono il portafoglio, disponiamo delle serie storiche dei prezzi p_ik, del titolo i il titolo al periodo temporale k, sui quali calcoliamo i rendimenti storici, calcolati geometricamente r_ik=(p_ik-p_ik-1)/p_ik-1 o con logaritmi r_ik=ln(p_ik/p_ik-1).
• Il rendimento complessivo di ogni titolo può essere ottenuto utilizzando la media aritmetica dei suoi rendimenti:

\bar{R}_i = \frac{1}{M} \sum_{\substack{k=1}}^M r_{i,k}

• la varianza dei rendimenti per gli n titoli è:

{\sigma}_i^2 = \frac{1}{M} \sum_{\substack{k=1}}^M ( r_{i,k} - \bar{R}_i )^2

• si definisce la covarianza tra i titoli come:

{\sigma}_{i,j} = \frac{1}{M} \sum_{\substack{k=1}}^M ( r_{i,k} - \bar{R}_i ) ( r_{j,k} - \bar{R}_i )

• mentre la correlazione tra i titoli come:

{\rho}_{i,j} = \frac{\sigma_{i,j}}{\sigma_i \sigma_j}

Una volta che sono note le varianze di tutti i nostri titoli, le loro correlazioni e le allocazioni, è possibile calcolare la varianza del portafoglio, scritta di seguito con più modalità per permettere a tutti di cogliere meglio il significato:

\sigma^2(X) = X^T(\Sigma X) = \\ (x_1,...,x_N)
\begin{pmatrix}
  \begin{bmatrix} \sigma_1^2 & \dots & \sigma_{1N} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \sigma_{N1} & \dots & \sigma_N^2 
  \end{bmatrix}
  \begin{Bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_N \end{Bmatrix}
\end{pmatrix} =
\\ = \sum_{\substack{i=1}}^N \sum_{\substack{j=1}}^N \sigma_{i,j} x_i x_j =
\rho_{i,j} \sigma_i \sigma_j x_i x_j

L’ultima forma, priva della sommatoria, adotta la notazione di Einstein e la useremo sulle successive formule. La deviazione standard, che si calcola come radice quadrata della varianza, è una delle possibili metriche per misurare il rischio di una attività finanziaria ed è forse la più usata per la sua immediata interpretabilità, pertanto la useremo anche noi nel nostro modello, anche se la radice quadrata può risultare complicata nei calcoli:

 \bm{ \sigma(X) = \sqrt{\rho_{i,j} \sigma_i \sigma_j x_i x_j} }

Questa formula ci fornisce una indicazione di come il rischio di portafoglio dipenda direttamente dai rischi dei suoi componenti e da come questi sono collegati tra loro tramite la matrice di correlazione. Purtroppo questa non ci è di aiuto per esprimere il rischio di portafoglio come somma dei singoli rischi, perché ogni elemento dipende dal prodotto x_jx_i, mentre l’approccio Risk Parity necessita di elementi che dipendano esclusivamente da una x_i per volta, passaggio fondamentale per imporre l’uguaglianza del rischio. Per ovviare a questo inconveniente, si può utilizzare il Teorema di Eulero, che permette di decomporre in una sommatoria di derivate parziali una qualsiasi funzione differenziabile ed omogenea di primo grado:

f(X) = x_1 \cdot \frac{\partial f(X)}{\partial x_1} + \dots + x_N \cdot \frac{\partial f(X)}{\partial x_N}

Adesso la funzione è formata da elementi che dipendono esclusivamente da x_i. La deviazione standard rispetta le ipotesi richieste dal teorema di Eulero, perciò possiamo esprimerla nel modo seguente:

\sigma(X) = x_1 \cdot \frac{\partial \sigma(X)}{\partial x_1} +
 \dots +
 x_N \cdot \frac{\partial \sigma(X)}{\partial x_N}

Le derivate parziali si calcolano con il teorema di derivazione di una funzione composta e, dopo qualche passaggio, troviamo:

x_i \cdot \frac{\partial \sigma(X)}{\partial x_i} =
\frac{\rho_{i,j} \sigma_i \sigma_j x_i x_j}{\sigma(X)}

A questo punto, ci troviamo con una formula dove i contributi al rischio dei titoli che compongono il portafoglio sono separati tra loro. Questi termini sono solitamente definiti come contributi marginali al rischio:

MC_i (X) = x_i \cdot \frac{\partial \sigma(X)}{\partial x_i}

Se sommiamo tutti i contributi marginali al rischio di tutti i nostri titoli, troviamo la seguente formulazione compatta:

 \bm{ \sigma(X) = MC_i (X) }

I contributi marginali al rischio ci permettono finalmente di creare un portafoglio che adotti l’approccio di Risk Parity, è sufficiente cercare le allocazioni X=(x₁, …, x_n) che porti ad avere tutti i contributi marginali al rischio MC_i uguali tra loro. Da un punto di vista matematico, questo è un problema di ottimizzazione che può essere definito come segue:

X^* = \{ X \in [0,1]^n : \sum x_i = 1 , MC_i = MC_j \enspace \forall \medspace i,j \}

Purtroppo la soluzione X* non accetta una forma chiusa, nel caso di un paio di titoli sarebbe possibile trovarla per tentativi, ma in tutti gli altri casi la via da seguire è quella del calcolo numerico.

Implementazione

Lo scopo principale di un ingegnere è quello di raccogliere vari elementi di qualsiasi natura (tangibili come parti meccaniche o elettriche, o più astratte come i principi di matematica o di fisica), adattarli e metterli insieme per creare uno strumento che sia in grado di risolvere un problema.

Di seguito metto a disposizione un foglio elettronico che raccoglie quanto scritto nel paragrafo precedente e combinandolo con i potenti strumenti messi a disposizione da Microsoft Excel, siamo in grado di disporre di un semplice ma efficace congegno che è in grado di risolvere il problema di Risk Parity.

Il file simula un portafoglio composto da quattro titoli e, implementando il modello di Risk Parity, è in grado di trovare i pesi che portano ad un equilibrio del rischio. In figura 1 possiamo vedere la sua schermata, composta come segue:

• in alto è presente la tabella delle correlazioni dei quattro titoli che formano il portafoglio (Bond 3Y, Bond 10Y, SXXR, Gold), le celle con i numeri in rosso sono quelle da modificare con i dati del proprio problema;
• Le righe contrassegnate con “weight” e “Risk” riportano rispettivamente le allocazioni e il rischio dei quattro titoli. Dobbiamo essere noi ad inserire i valori del rischio in base al portafoglio che vogliamo simulare, mentre il valore delle allocazioni saranno gestite da Excel.
• La tabella inferiore è il cuore del programma, combina tutti i nostri dati e calcola i contributi marginali al rischio (colonna a destra cerchiata di rosso). Questi, se sommati tra loro, danno il rischio complessivo di portafoglio, riportato nell’ultima riga del foglio.

Una volta che i dati iniziali sono stati caricati correttamente, è sufficiente lanciare una estensione chiamata Risolutore (o Solver se usate la versione in lingua inglese) ed Excel troverà il mix giusto dei pesi in modo che i quattro contributi marginali al rischio siano tutti uguali tra loro!

Il Risolutore di Excel è un oggetto che è già incorporato in Excel e realizza la “magia” di ricercare la soluzione al nostro problema, che ho già impostato quando ho creato il file. Per chi non avesse pratica con “Risolutore”, ricordo che deve essere prima attivato dal seguente percorso menù file –> opzioni –> componenti aggiuntivi, dopo è possibile lanciarlo dal menù Dati –> Analisi.

Applicazione

I dati presenti nel file “Risk Parity” sono presi direttamente dal file “PFT Statico” fornito nell’articolo Portafogli Statici e Fogli Elettronici. Le correlazioni sono calcolate sui rendimenti giornalieri e i rischi sono misurati come deviazioni standard annualizzate, per chi volesse approfondire nel file “PFT statico” è possibile consultare le formule all’interno delle celle. L’ottimizzazione tramite il Risolutore è stata già eseguita, con i contributi marginali al rischio già livellati.

Nella parte destra della figura 1, sono presenti due grafici a torta che riportano le proporzioni del rischio e del capitale allocati sui quattro titoli di portafoglio. Il grafico superiore dà una chiara indicazione di come i contributi marginali al rischio siano uguali tra loro, mentre il grafico inferiore mostra come gli strumenti a minore volatilità siano quelli con la maggior fetta di allocazione. In questo esempio la diversificazione è buona, non ci sono sbilanciamenti come nel portafoglio a minima varianza e il rischio del portafoglio si attesta ad un 2.3%, un valore relativamente basso se confrontato con quello dei suoi titoli.

Vediamo ora come si comporta il nostro secondo portafoglio, Equipesato, che condivide con quello di Risk Parity gli stessi dati di partenza ma le allocazioni sono decise a priori ad un 25% l’uno. In figura 2 vediamo i risultati ottenuti con il file “Risk Parity”, in questo caso i contributi marginali al rischio sono tutti diversi tra loro e con uno sbilanciamento quasi totale su oro e azionario. I due grafici a torta danno subito una chiara indicazione: se l’allocazione di capitale è distribuita equamente tra le quattro classi di investimento, nella torta del rischio vediamo uno sbilanciamento fortissimo sugli asset più volatili. Questa caratteristica evidenzia come il rischio del portafoglio Equipesato è tutta una questione tra azionario e oro mentre l’obbligazionario non riesce a fornire efficacemente il suo effetto anestetizzante sul rischio.

Se confrontiamo in modo più asettico i due portafogli con le principali metriche (calcolate con il file “PTF Statico”), possiamo vedere come Equipesato riesca a garantire dei rendimenti attesi più alti, invece Risk Parity ha una gestione del rischio nettamente migliore, soprattutto sui rapporti Rendimento / Rischio. Anche nella figura 3 è possibile riscontrare questi due comportamenti, con la Equity Line di Equipesato con pendenze maggiori ma anche più nervosa, mentre più regolare e costante quella di Risk Parity.

In letteratura si parla tanto di come sopperire ai rendimenti inferiori di Risk Parity, con soluzioni che coinvolgono la leva finanziaria, non particolarmente gradita a noi investitori retail. Il mio giudizio è che bisogna tener conto che il metodo Risk Parity è nato e si è sviluppato oltreoceano, un luogo dove la mentalità tipica degli statunitensi tende a considerare l’investimento preferito quello composto soprattutto da azionario e non accetta di buon grado una presenza importante di obbligazionario. Per noi Europei è un non problema, noi accogliamo volentieri l’investimento nelle obbligazioni societarie e nei Titoli di Stato, che portano a delle proporzioni più armoniose tra le classi di investimento.

In Chiusura

Nelle fasi di progettazione e costruzione di un portafoglio statico, quando si arriva alla determinazione dei pesi da assegnare ai titoli scelti ci troviamo di fronte all’infinità di combinazioni tecnicamente possibili che possono confondere le idee. Nell’articolo Le Combinazioni di Portafoglio abbiamo ridotto l’insieme a quattro possibili soluzioni e in questo articolo invece abbiamo confrontato Equipesato e Risk Parity, le due combinazioni più interessanti, soprattutto sulla tenuta nel lungo periodo.

Per chi volesse approfondire l’argomento da un punto di vista matematico, consiglio la lettura del seguente articolo On the properties of equally-weighted risk contributions portfolios, con un interessante confronto tra le soluzioni equipesata e a minima varianza.

Nel prossimo articolo racconteremo l’affascinante storia del più famoso dei portafogli Risk Parity, l’All Weather della Bridgewaters e lo metteremo a confronto con l’altrettanto celebre Permanent Portfolio, degno rappresentante della “casata” degli Equipesati.

Vi ringrazio per il vostro tempo e vi auguro investimenti felici!

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