(In copertina: immagine di Miguel Á. Padriñán: https://www.pexels.com/photo/dominoes-585293/)
L’articolo, ricco di approfondimenti teorici e pratici, sarà presentato in tre parti per offrire una trattazione completa e più facile da seguire. Nella prima parte esploreremo i limiti della Modern Portfolio Theory, analizzando i principali ostacoli incontrati e i vari tentativi di miglioramento che hanno posto le basi storiche per l’HRP. La seconda parte si tufferà all’interno del modello HRP per comprenderne struttura e funzionamento. Infine, nella terza parte passeremo dalla teoria alla pratica, offrendo un esempio concreto di implementazione e utilizzo.
Come spesso accade nei nostri articoli, relego in un angolo il temibile e ostico regno della matematica in, un po’ come si fa con le verdure nel piatto: sai che fanno bene, ma preferisci passarci sopra! Se la materia più noiosa delle scuole ti provoca ancora degli incubi, puoi serenamente saltare questo passaggio e dirigerti direttamente alle parti più gustose della strategia HRP. Lasceremo formule, grafici e tabelle ai coraggiosi avventurieri che desiderano addentrarsi nei meccanismi nascosti e apprezzare tutta l’eleganza della complessità di HRP.
Come HRP Funziona: il Modello Matematico
Nel suo articolo accademico del 2016, Marcos López de Prado ha messo in luce i motivi matematici alla base della maledizione di Markowitz, il fenomeno che abbiamo descritto in precedenza e che affligge l’algoritmo di ottimizzazione Critical Line Algorithm (CLA) utilizzato dalla MPT di Markowitz, identificando quattro principali criticità:
- Inversione della matrice delle covarianze. La CLA richiede l’inversione della matrice delle covarianze, che è per definizione definita-positiva, un aspetto che porta instabilità. Piccoli errori nella stima degli elementi della matrice (come stime imprecise delle correlazioni tra gli strumenti) possono portare a cambiamenti significativi nell’inversa della matrice delle covarianze.
- Rendimenti attesi. Un altro problema è che la CLA utilizza i rendimenti attesi per calcolare i pesi del portafoglio. Analogamente alla matrice delle covarianze, il vettore dei rendimenti attesi introduce ulteriori fonti di instabilità. Poiché nel mondo reale i rendimenti attesi sono estremamente difficili da stimare con precisione, questa instabilità tende ad amplificarsi.
- Correlazioni. La CLA utilizza tutte le correlazioni tra gli elementi del paniere, creando una rete di dipendenza molto forte. Ogni elemento è connesso a tutti gli altri e ognuno di essi è trattato allo stesso livello, rendendolo potenzialmente sostituibile con qualsiasi altro elemento. Questa rete di interconnessione aggiunge ulteriore instabilità.
- Costo computazionale e complessità. Infine, un aumento del numero di elementi nel paniere comporta un incremento del costo computazionale e della complessità necessaria per invertire la matrice delle covarianze. Questo introduce errori di troncamento e di arrotondamento che possono amplificarsi all’interno dell’algoritmo, aggravando ulteriormente i problemi di instabilità.
Queste cause di instabilità non sono esclusive della CLA, ma si riscontrano in tutti i modelli “classici” che richiedono un processo di ottimizzazione per trovare una soluzione. De Prado ha affrontato con ingegno questo problema, eliminando le principali cause di instabilità:
- In primo luogo, De Prado ha escluso il vettore dei rendimenti attesi dal processo di ottimizzazione. Questa idea non è completamente nuova: tutti i modelli della famiglia Risk Parity non utilizzano i rendimenti attesi, concentrando invece l’attenzione esclusivamente sulla matrice delle covarianze.
- Successivamente, l’autore spagnolo ha adottato un approccio basato sulla teoria dei grafi e sull’apprendimento automatico per costruire una struttura gerarchica all’interno della matrice delle covarianze, migliorando la stabilità agli errori di stima delle misure del rischio.
- Il terzo aspetto consiste nel riorganizzare le righe e le colonne della matrice delle covarianze, con l’obiettivo di posizionare gli elementi della matrice con il valore maggiore vicino alla diagonale, creando così una matrice quasi diagonalizzata che non necessita di essere invertita.
Vediamo ora come applicare in pratica il modello HRP attraverso le tre fasi che lo regolano.
1. Raggruppamento Gerarchico
La Teoria del raggruppamento gerarchico offre gli strumenti che consentono di aggregare e di costruire una struttura gerarchica dei prodotti finanziari, simile a quella utilizzata dalla tassonomia industriale per organizzare le aziende in settori. Ne abbiamo parlato ampiamente in un precedente articolo, mostrando come l’algoritmo di raggruppamento gerarchico si dimostra straordinariamente efficace nel suddividere e organizzare il nostro paniere, riconoscendo le peculiarità delle serie storiche e le similitudini tra di esse.
Per chiarire qual è il vantaggio di utilizzare una struttura gerarchica, aiutiamoci con la figura 1, che illustra la relazione tra quattro elementi di un ideale paniere di strumenti finanziari:
- L’immagine sinistra rappresenta il caso “classico”, in cui tutti e quattro gli elementi sono collegati tra loro tramite le covarianze. Questa configurazione comporta una notevole instabilità. Infatti, se uno degli elementi modifica le proprie caratteristiche in termini di rischio e correlazione, tale variazione avrà effetti diretti su tutti gli altri elementi.
- L’immagine destra presenta una struttura gerarchica, in cui i legami tra gli elementi del paniere sono meno numerosi. Questa struttura non solo facilita la gestione di panieri molto ampi, ma offre anche una maggiore stabilità: la variazione delle caratteristiche di un solo elemento influisce solo su un numero limitato di altri elementi. Ad esempio, se l’elemento A subisce una variazione, l’effetto si propaga direttamente solo a C e solo indirettamente a tutti gli altri elementi del paniere. Ciò significa che le fluttuazioni di un singolo elemento non hanno ripercussioni amplificate su tutta la struttura, contribuendo a mantenere il portafoglio più robusto e meno suscettibile ai cambiamenti.
Per visualizzare chiaramente i risultati ottenuti attraverso il raggruppamento gerarchico, possiamo fare riferimento alla figura 1, che illustra un dendrogramma. Questo grafico è l’ideale per rappresentare la struttura gerarchica delle connessioni tra gli elementi di un paniere, offrendoci un’immagine chiara e intuitiva. Costruito in questo modo, il dendrogramma assomiglia a un ad un albero stilizzato: non è un caso che dendrogramma sia un termine di origine latina che si traduce “linee ad albero”. Partendo dall’alto e procedendo verso il basso, le linee si ramificano creando nuove diramazioni, fino a giungere alla base dove i punti sono paragonabili alle foglie dell’albero.
2. Seriazione della Matrice delle Covarianze
Una volta realizzata la struttura ad albero che collega gli elementi del nostro paniere, possiamo sfruttare queste informazioni per organizzarli in modo che quelli più simili tra loro siano vicini, mentre quelli dissimili siano collocati a distanza.
Il dendrogramma è lo strumento visivo perfetto per rappresentare questa struttura, mostrando in modo chiaro le relazioni di similarità. Questo metodo permette di riorganizzare gli elementi seguendo una sequenza ordinata in base alla loro affinità. Nella figura 3, per esempio, la sequenza inizia con l’elemento numero 5, collocato all’estrema sinistra, e termina con l’elemento numero 6, a destra. In questo modo, gli elementi simili come il 2 e il 3 sono collocati uno accanto all’altro, mentre elementi dissimili, come il 5 e il 6, si trovano agli estremi della sequenza.
Perché riorganizzare gli elementi del nostro paniere in una sequenza ordinata è utile? Una immagine ci può aiutare più di mille parole per comprendere meglio questo concetto. Immaginiamo una generica matrice simmetrica, come quella mostrata nella parte sinistra della figura 3, dove i valori sono compresi tra zero e uno, con le tonalità di verde che indicano i diversi livelli: i valori più alti corrispondono a tonalità più intense, segnalando una maggiore somiglianza tra due elementi, mentre le tonalità più chiare indicano elementi dissimili. La diagonale presenta tutti valori unitari soltanto per una questione di semplicità di trattazione.
In questa matrice, i valori elevati (indicati con un verde più scuro) sembrano sparsi, senza un ordine apparente, con alcuni che si trovano nella parte esterna della matrice e altri più all’interno. Ora, se spostiamo le righe e le colonne, rispettando sempre la simmetria della matrice, come in una sorta di gioco del “15” (in cui si spostano le tessere numerate da 1 a 15 per sistemarle in ordine crescente), possiamo ottenere una nuova configurazione, mostrata nella parte destra della figura 3. Si tratta della stessa matrice, ma ora gli elementi con i valori più alti si trovano vicino alla diagonale, mentre quelli minori sono più esterni, formando una struttura quasi diagonale.
Perché è così importante ottenere una matrice quasi-diagonale? Anche se le covarianze tra gli strumenti non sono esattamente nulle, disporre di una matrice quasi diagonale consente di trattarla come una matrice diagonale, che semplifica notevolmente i calcoli necessari per le allocazioni di capitale, come vedremo tra breve nella fase successiva.
Questa pratica di riorganizzare gli elementi di una matrice è nota come seriazione, una tecnica originariamente ideata dal famoso archeologo Flinders Petrie (1853-1942) alla fine dell’ottocento. Egli la utilizzò per datare reperti archeologici basandosi sullo stile e sulla forma, quando altre forme di datazione assoluta non erano disponibili. Questo metodo fu rivoluzionario perché consentì agli archeologi di attribuire una cronologia relativa ai siti archeologici in base ai manufatti rinvenuti. Successivamente, la seriazione trovò applicazione anche in informatica per analizzare dati tabulari e, come nel nostro caso, per identificare strutture ordinate nei dati.
Per ottenere una seriazione che si avvicini il più possibile alla forma diagonale, entra in gioco il dendrogramma, che ci fornisce la sequenza ottimale degli elementi del nostro paniere. Questo rappresenta il punto di collegamento naturale tra la fase di raggruppamento gerarchico vista precedentemente e la seriazione discussa qui.
La seriazione è una tecnica nata nell’epoca d’oro dell’egittologia, mentre il dendrogramma emerse negli anni ‘60, utilizzato per la prima volta dai biologi Peter Sneath and Robert Sokal nel loro libro “Principles of Numerical Taxonomy” per classificare organismi biologici. L’incontro tra queste due tecniche, provenienti da contesti storicamente e scientificamente distanti, ha un sapore quasi romantico. Riprese e rivisitate dall’algoritmo dell’HRP, queste tecniche si fondono in un sincretismo perfetto tra archeologia, biologia e finanza per risolvere problemi complessi come la costruzione di portafogli efficienti.
3. Bisezione Ricorsiva
Se la matrice delle covarianze fosse diagonale, ossia con tutti gli elementi al di fuori della diagonale pari a zero, il problema di determinare la combinazione di pesi che minimizza il rischio di portafoglio diventa molto più semplice e può essere risolto con una formula lineare:
\tag{1}
w_i =
\frac
{1 / \sigma_i^2}
{\sum_{\substack{i=1}}^N
{1 / \sigma_i^2}
}dove:
- wi rappresenta il peso allocato allo strumento i-esimo,
- è la varianza dell’elemento i-esimo, posto lungo la diagonale,
- n è il numero totale di elementi nel portafoglio.
Questa formula, nota come Inverse Variance Method (IVM), mostra che il peso assegnato a ciascun elemento è inversamente proporzionale alla sua varianza: gli elementi meno rischiosi ottengono un peso maggiore, mentre quelli più rischiosi vengono penalizzati.
Rispetto ai metodi tradizionali utilizzati da Harry Markowitz per la costruzione di portafogli ottimali, questa formula offre numerosi vantaggi:
- elimina la necessità di ricorrere a complessi metodi numerici,
- evita l’inversione della matrice delle covarianze (spesso fonte di instabilità) e
- non richiede che la matrice sia definita positiva, prevenendo così la generazione di pesi negativi.
Marcos Lopez de Prado non utilizza direttamente la formula IVM (1) per calcolare i pesi del portafoglio, poiché tale formula è indipendente dalla sequenza degli elementi nella matrice delle covarianze e quindi non sfrutterebbe il lavoro di seriazione fatto fin qui. Per sfruttare i benefici della forma quasi-diagonale e della formula IVM, de Prado adotta invece un metodo di bisezione ricorsiva, un processo strutturato in due passaggi:
- Utilizzando la sequenza degli elementi ottenuta dalla seriazione, si suddivide il portafoglio in due gruppi, uno con gli elementi posti a sinistra ed uno con quelli di destra.
- Il capitale è suddiviso tra i due gruppi, in proporzione inversa alle rispettive varianze, secondo la formula IVM.
Questo processo si ripete per ogni gruppo, suddividendo ulteriormente i gruppi in due parti (da cui il termine “bisezione ricorsiva”) e distribuendo il capitale fino ai singoli elementi.
La figura 6 illustra un esempio semplice. Abbiamo un paniere composto da otto elementi, da A ad H, già disposti nella forma quasi diagonale ottenuta durante la seriazione. Nella prima iterazione, gli otto elementi sono suddivisi in due gruppi: il gruppo L1, che comprende gli elementi di sinistra A, B, C e D; il gruppo L2 che include quelli di destra E, F, G e H.
Le varianze di L1 e L2 si possono calcolare utilizzando l’approccio di Risk Parity, aggregando le varianze degli elementi che compongono i singoli gruppi:
\tag{2}
\sigma_{L1}^2 =
\frac
{1}
{1 / \sigma_A^2 + 1 / \sigma_B^2 + 1 / \sigma_C^2 + 1 / \sigma_D^2}\tag{3}
\sigma_{L2}^2 =
\frac
{1}
{1 / \sigma_E^2 + 1 / \sigma_F^2 + 1 / \sigma_G^2 + 1 / \sigma_H^2}Questo è un calcolo semplificato della varianza perché nella formula non compaiono le covarianze, giustificato dalla forma quasi diagonale della matrice delle covarianze. A questo punto, è possibile suddividere il capitale tra L1 e L2, utilizzando la formula IMV:
\tag{4}
x_{L1}^{MV} =
\frac
{1 / \sigma_{L1}^2}
{1 / \sigma_{L1}^2 + 1 / \sigma_{L2}^2}\tag{5}
x_{L2}^{MV} =
\frac
{1 / \sigma_{L2}^2}
{1 / \sigma_{L1}^2 + 1 / \sigma_{L2}^2}Dove l’apice MV indica che si tratta di una soluzione che minimizza la varianza del portafoglio.
Suddiviso il capitale tra L1 e L2, ora si ripete l’intero processo: si suddividono ulteriormente L1 (che diventa L11 e L12) e L2 (che diventa L21 e L22), si calcola la varianza aggregata e poi si assegna il capitale di L1 e L2 con la formula IMV. Si prosegue così fino a ripartire il capitale tra i singoli elementi.
Questo approccio sfrutta la sequenza ottimale ottenuta dal dendrogramma, raggruppando gli elementi simili all’interno dello stesso gruppo e distribuendo il capitale lungo i rami attraverso la bisezione ricorsiva.
È importante non confondere il dendrogramma mostrato in figura 2 con il diagramma top-down in figura 6: mentre il dendrogramma viene utilizzato nel modello HRP per identificare la sequenza ideale degli elementi del paniere, il diagramma top-down suddivide iterativamente ogni gruppo in due parti uguali per gestire la ripartizione del capitale.
Viene quasi spontaneo pensare di utilizzare il dendrogramma non solo per definire la sequenza, ma anche per distribuire il capitale. Una idea interessante proposta da Thomas Raffinot, economista quantitativo francese, con il suo modello Hierarchical Equal Risk Contribution (HERC). Tuttavia, questa maggiore raffinatezza porta con sé una complessità superiore, richiedendo un’attenta ottimizzazione del dendrogramma perché restituisca soluzioni allineate agli obiettivi di investimento. Marcos Lopez de Prado, invece, ha scelto un approccio più lineare e gestibile.
Il diagramma top-down del modello HRP può essere visto come una soluzione modulare al problema di ripartire il capitale tra gli elementi di un paniere: il portafoglio viene suddiviso in sottogruppi più piccoli, ognuno dei quali viene risolto separatamente. Successivamente, le soluzioni dei singoli sottogruppi sono riunite, consentendo di affrontare anche problemi complessi con maggiore semplicità ed efficienza.
Conclusione
I nostri tempi sono caratterizzati da una rivoluzione informatica senza precedenti: grazie alla diffusione capillare di strumenti come laptop, smartphone e ai numerosi servizi offerti dal World Wide Web, l’accesso alle informazioni è oggi alla portata di tutti, spesso a costi irrisori. Tuttavia, questa enorme quantità di dati richiede metodi e processi capaci di gestirli e sfruttarli al meglio. È proprio in questo contesto che si inserisce il modello HRP che, combinando tecniche matematiche storiche e moderne innovazioni dell’apprendimento automatico, ha risolto problemi che per decenni hanno ostacolato la costruzione di portafogli efficienti.
L’approfondimento matematico di questo articolo è fondamentale per comprendere come HRP calcola le sue soluzioni e quali sono i contesti nei quali offre i risultati migliori. Anche se le formule presentate non sono particolarmente complesse, non è necessario cimentarsi in calcoli manuali o in fogli Excel intricati. Esistono strumenti informatici intuitivi che consentono di utilizzare il modello HRP come una vera “scatola nera,” dove occorre preoccuparsi solo degli input e dei risultati. Nel prossimo articolo, vedremo un esempio pratico di applicazione del modello HRP, lavorando su un paniere con strumenti simili.
Nel frattempo, vi consiglio la lettura dell’articolo originale di Marcos Lopez de Prado, , Building Diversified Portfolios that Outperform Out-of-Samplet della Social Science Research Network (SSRN). e l’ottima guida pubblicata da Hudson & Thames, The Hierarchical Risk Parity Algorithm: An Introduction, una società Fintech attiva nella sperimentazione di nuove metodologie per l’investimento.
Restate sintonizzati per la prossimo puntata!
Buon Investing!
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