Nel precedente articolo Il Risk Parity nei Portafogli Statici, abbiamo introdotto il modello matematico che c’è dietro all’approccio di Risk Parity e fornito i passaggi principali che conducono alla definizione dei contributi marginali al rischio, elementi essenziali per imporre l’uguaglianza dei rischi dei singoli strumenti che compongono il portafoglio.
La deviazione standard è, fin dai tempi di Markowitz, la metrica più usata per definire il rischio di una attività finanziaria e anche se non è la più maneggevole per l’algebra lineare, è sicuramente la più intuitiva e facile da calcolare. La sua espressione è la seguente:
\tag{1}
\bm{ \sigma(X) =
\sqrt{
\sum_{\substack{i=1}}^N \sum_{\substack{j=1}}^N
\rho_{i,j} \sigma_i \sigma_j x_i x_j}
}Dove N è il numero dei titoli che compongono il portafoglio, ρ è la correlazione e σ è la varianza / covarianza tra i vari titoli, che abbiamo definito nel precedente articolo. Purtroppo questa formulazione del rischio non è di aiuto per l’approccio Risk Parity, la quale richiede di definire in modo distinto i contributi che arrivano da ogni strumento del portafoglio, mentre in questo caso abbiamo una espressione che vede una doppia sommatoria di prodotti xjxi.
In questo articolo, che considero più un compendio al precedente Il Risk Parity nei Portafogli Statici, voglio esporre tutti i passaggi che portano alla definizione dei contributi marginali al rischio. Per questo lavoro voglio ringraziare l’amico e collega ingegnere Massimiliano Francone, che mi ha fornito parte del materiale e soprattutto la giusta disciplina per scrivere le formule. Su suo suggerimento abbiamo lasciato le sommatorie scritte in modo esplicito e senza ricorrere alla notazione di Einstein, la quale alleggerisce molto la scrittura ma più adatta al calcolo tensoriale.
Teorema di Eulero sulle Funzioni Omogenee
Leonardo Eulero fu un matematico svizzero vissuto nel 1700, uno dei più importanti di tutta la storia. La sua produzione fu incredibile, i suoi contributi sono enormi e spaziano in moltissimi campi della matematica e della fisica.
Uno dei suoi teoremi più noti è quello riguardante le funzioni differenziabili ed omogenee di primo grado, le quali possono essere espresse come una sommatoria di derivate parziali:
\tag{2}
f(X) =
\sum_{\substack{i=1}}^N
x_i \cdot \frac{\partial f(X)}{\partial x_i}Questa espressione fa al caso nostro, abbiamo una sola sommatoria ed ogni suo elemento dipende solo da xi, a differenza dell’espressione (1) dove abbiamo una doppia sommatoria e gli elementi dipendono sia da xi e sia da xj. La deviazione standard rispetta le ipotesi richieste dal teorema di Eulero, perciò possiamo esprimerla nel modo seguente:
\tag{3}
\sigma(X) =
\sum_{\substack{i=1}}^N
x_i \cdot \frac{\partial \sigma(X)}{\partial x_i}la derivata parziale richiede qualche passaggio e si può calcolare con il teorema di derivazione di una funzione composta:
\tag{4}
\frac{d}{dx}h(x) = g'[f(x)] \cdot f'(x)nel nostro caso abbiamo:
\tag{5}
\begin{matrix}
g(X) = \sqrt{f(X)} \\
f(X) = \displaystyle\sum_{\substack{i=1}}^N \sum_{\substack{j=1}}^N
\rho_{i,j} \sigma_i \sigma_j x_i x_j
\end{matrix}La prima derivata della (4) si trova come derivata di un esponenziale:
\tag{6}
g'[f(X)] = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{f(X)}} = \\
= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{
\sqrt{
\displaystyle\sum_{\substack{i=1}}^N \sum_{\substack{j=1}}^N
\rho_{i,j} \sigma_i \sigma_j x_i x_j}
}
=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sigma(X)}
la seconda derivata della (4) richiede di derivate separatamente tutti gli addendi della sommatoria per poi risommarli tra loro. Per un generico valore k, abbiamo:
\tag{7}
f'(x_k) = \frac{\partial}{\partial x_k}
\begin{pmatrix}
\displaystyle\sum_{\substack{i=1}}^N \sum_{\substack{j=1}}^N
\rho_{i,j} \sigma_i \sigma_j x_i x_j
\end{pmatrix}ci troviamo di fronte ad una equazione con 3 indici: k è un indice libero (compare su entrambi i membri) mentre i e j sono indici muti e hanno un ruolo interno all’espressione. A seconda dei valori che k può assumere rispetto a i e j, troviamo 5 casi:
\tag{8a}
\begin{matrix}
\text{se } i=j=k &
\text{allora } \displaystyle\frac{\partial}{\partial x_k}
\lparen
\rho_{k,k} \sigma_k \sigma_k x_k x_k
\rparen
= 2\rho_{k,k} \sigma_k \sigma_k x_k
\end{matrix} \tag{8b}
\begin{matrix}
\text{se } i=j\not= k &
\text{allora } \displaystyle\frac{\partial}{\partial x_k}
\lparen
\rho_{i,i} \sigma_i \sigma_i x_i x_i
\rparen
= 0
\end{matrix} \tag{8c}
\begin{matrix}
\text{se } i\not=j=k &
\text{allora } \displaystyle\frac{\partial}{\partial x_k}
\begin{pmatrix}
\displaystyle\sum_{\substack{i=1,i\not=k}}^N
\rho_{i,k} \sigma_i \sigma_k x_i x_k
\end{pmatrix} =
\displaystyle\sum_{\substack{i=1,i\not=k}}^N
\rho_{i,k} \sigma_i \sigma_k x_i
\end{matrix} \tag{8d}
\begin{matrix}
\text{se } j\not=i=k &
\text{allora } \displaystyle\frac{\partial}{\partial x_k}
\begin{pmatrix}
\displaystyle\sum_{\substack{j=1,j\not=k}}^N
\rho_{k,j} \sigma_k \sigma_j x_k x_j
\end{pmatrix} =
\displaystyle\sum_{\substack{j=1,j\not=k}}^N
\rho_{k,j} \sigma_k \sigma_j x_j
\end{matrix} \tag{8e}
\begin{matrix}
\text{se } i\not=j\not= k &
\text{allora } \displaystyle\frac{\partial}{\partial x_k}
\lparen
\rho_{i,j} \sigma_i \sigma_j x_i x_j
\rparen
= 0
\end{matrix} La figura 2 dà un aiuto grafico a comprendere meglio come si comporti questa derivata a seconda del valore degli indici, dove le varie combinazioni da 8a a 8e sono riportate in tabella. In questo esempio abbiamo N=3 e k=3 e possiamo vedere come ci siano solo i contributi 8a, 8c e 8d che arrivano dalla terza riga e dalla terza colonna, non a caso lo stesso numero di k.
se ora sommiamo tutti i contributi delle equazioni (8), troviamo:
\tag{9}
f'(x_k) =
2\rho_{k,k} \sigma_k \sigma_k x_k +
\displaystyle\sum_{\substack{i=1,i\not=k}}^N \rho_{i,k} \sigma_i \sigma_k x_i +
\displaystyle\sum_{\substack{j=1,j\not=k}}^N \rho_{k,j} \sigma_k \sigma_j x_jla matrice delle varianze / covarianze è simmetrica per definizione, pertanto i termini all’interno delle due sommatorie sono coniugati tra loro:
\tag{10}
\rho_{m,k} \sigma_m \sigma_k x_m = \rho_{k,m} \sigma_k \sigma_m x_mcosì la (9) può essere riscritta in forma compatta:
\tag{11}
f'(x_k) =
2\rho_{k,k} \sigma_k \sigma_k x_k +
2 \displaystyle \sum_{\substack{m=1,m\not=k}}^N \rho_{m,k} \sigma_m \sigma_k x_m = \\
=
2 \displaystyle \sum_{\substack{m=1}}^N \rho_{m,k} \sigma_m \sigma_k x_mOra che abbiamo definito le derivate di g ed f, possiamo moltiplicarle fra loro per trovare finalmente il generico termine k della (3):
\tag{12}
x_k \cdot \frac{\partial \sigma(X)}{\partial x_k} =
x_k \cdot\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sigma(X)} \cdot
2 \displaystyle \sum_{\substack{m=1}}^N \rho_{m,k} \sigma_m \sigma_k x_m = \\ =
\frac{1}{\sigma(X)} \cdot \displaystyle \sum_{\substack{m=1}}^N \rho_{m,k} \sigma_m \sigma_k x_m x_kA questo punto, abbiamo una formula dove i contributi al rischio dei titoli che compongono il portafoglio sono separati tra loro. Questi termini sono definiti come contributi marginali al rischio:
\tag{13}
\bm{
MC_k (X) = \frac{1}{\sigma(X)} \cdot \displaystyle \sum_{\substack{m=1}}^N \rho_{m,k} \sigma_m \sigma_k x_m x_k
}come verifica della bontà di questa espressione, se sommiamo tutti i contributi marginali ritroviamo la deviazione standard:
\tag{14}
\displaystyle \sum_{\substack{k=1}}^N MC_k (X) =
\frac{1}{\sigma(X)} \cdot
\displaystyle \displaystyle \sum_{\substack{k=1}}^N \sum_{\substack{m=1}}^N \rho_{m,k} \sigma_m \sigma_k x_m x_k = \\ =
\frac{\sigma(X)^2}{\sigma(X)} = {\sigma(X)}L’interpretazione del contributo marginale al rischio, come espresso della equazione (13), non è poi così intuitiva. Per calcolare il contributo dell’elemento k-esimo, la formula introduce una sommatoria che coinvolge i rischi e i pesi degli altri j-esimi elementi: se lo scopo di questo lavoro è di separare tutti i contributi al rischio che arrivano dai vari elementi costitutivi del portafoglio, perché nella equazione (13) troviamo ancora il contributo di tutti gli elementi? Con qualche passaggio algebrico, possiamo scrivere una equazione più intuitiva e sicuramente più facile da interpretare.
Riscriviamo la equazione (13) esplicitando la varianza / covarianza al posto della correlazione:
\tag{15}
MC_k (X) = \frac{1}{\sigma(X)} \cdot
\displaystyle \sum_{\substack{m=1}}^N \sigma_{m,k} x_m x_k = \\
= \frac{x_k}{\sigma(X)} \cdot \displaystyle \sum_{\substack{m=1}}^N \sigma_{m,k} x_mdove abbiamo portato fuori dalla sommatoria il peso xk, in quanto indipendente dalla sommatoria stessa. La sommatoria, così come scritta ora, corrisponde alla covarianza tra l’elemento k e l’intero portafoglio:
\tag{16}
\sigma_{k,P} = \displaystyle \sum_{\substack{m=1}}^N \sigma_{m,k} x_mpertanto, la nuova espressione del contributo marginale al rischio diventa:
\tag{17}
MC_k (X) = \frac{x_k \cdot \sigma_{k,P}}{\sigma(X)} =
\frac{x_k \cdot \rho_{k,P} \cdot \sigma_k \cdot \sigma(X) }{\sigma(X)}e finalmente abbiamo:
\tag{18}
\bm{ MC_k (X) = {x_k \cdot \sigma_k \cdot \rho_{k,P} } }Questa formulazione è sicuramente più intuitiva e ci dice che:
- Il contributo marginale al rischio dell’elemento k dipende da tre componenti: dal suo peso, dalla sua deviazione standard e dalla correlazione rispetto al portafoglio.
- La correlazione è sempre un numero inferiore ad 1, ciò significa che il rischio di portafoglio sarà sempre inferiore alla somma dei singoli rischi dei suoi elementi.
Non solo deviazione standard
Come sentiamo dire spesso, la deviazione standard è la metrica principe per misurare il rischio, ma non è l’unica. E’ possibile calcolare i contributi marginali al rischio anche con altre metriche, per esempio con la varianza:
\tag{15}
\sigma^2(X) =
\sum_{\substack{i=1}}^N \sum_{\substack{j=1}}^N
\rho_{i,j} \sigma_i \sigma_j x_i x_j
possiamo ripercorrere lo stesso percorso fatto nel paragrafo precedente e trovare che il suo contributo marginale al rischio vale:
\tag{16}
MC^{\sigma}_k (X) = x_k \cdot \rho_{k,P} \cdot \sigma_k \cdot \sigma_PSoluzioni più complete (e complesse), fanno uso del Value at Risk (VaR), una misura che indica la perdita potenziale di un investimento in un certo orizzonte temporale, ad un fissato livello di confidenza, argomento che abbiamo già trattato nella serie Orizzonte Temporale. Il VaR è definibile come:
\tag{17}
{VaR_\alpha = -W_0 \cdot q_\alpha}dove W0 è il capitale iniziale e q è la perdita percentuale minima che si potrebbe avere con una probabilità α. Un esempio può chiarire meglio: se ho un capitale iniziale di W0 = 10°000€ e investo su uno strumento che ha una probabilità del 5% di perdere almeno 11% nell’arco di un mese, il Value at Risk vale:
\tag{18}
{VaR_\alpha = -W_0 \cdot q_{5\%} } = -10°000€ \cdot 11\% = -1°100€Il VaR è una funzione omogenea di primo grado e come tale può essere usata con il teorema di Eulero per trovare i contributi marginali al rischio:
\tag{19}
{MC^{VaR}_k (X) =
W_0 \cdot q_{\alpha} \cdot
x_k \cdot \sigma_k \cdot \rho_{k,P}
}Il principale vantaggio di usare il VaR come misura del rischio è che non necessita dell’ipotesi che i rendimenti seguano una distribuzione normale, potendo così incorporare i momenti statistici superiori, come il grado di asimmetria (skewness) e di allungamento (kurtosi), aprendo le porte del Risk Parity a strumenti derivati come opzioni e certificati.
Per approfondire
Questo articolo è solo un breve approfondimento sul contributo marginale al rischio, che rientra nella vasta disciplina dell’econometria, la quale fa un largo uso di algebra lineare, di calcolo differenziale e di statistica, pertanto il materiale di approfondimento è decisamente vasto e anche online le risorse non mancano.
Nelle mie ricerche su internet alla caccia di materiale a supporto, mi sono imbattuto in un libro che ritengo interessante, Introduction to Computational Finance and Financial Econometrics with R, scritta da Eric Zivot, un professore statunitense di econometria. Il libro, consultabile gratuitamente, ha un taglio pratico ed è un valido formulario per chi, come noi, vuole “sporcarsi” subito le mani, in particolare il capitolo 14.2 contiene il materiale relativamente al contributo marginale al rischio e il capitolo 2.1.8 sulla definizione del VaR.
Ringrazio chi ha avuto la concentrazione di arrivare fin qui in fondo all’articolo e spero di non avervi annoiato troppo con l’analisi matematica!
Investimenti felici!
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