Orizzonte Temporale – Parte 2

Nell’articolo precedente Orizzonte Temporale Parte 1 abbiamo introdotto due domande fondamentali della pianificazione finanziaria:

• qual è il tuo grado di rischio?
• qual è il tuo orizzonte temporale?

Apparentemente semplici ma difficili da tradurre in numeri. Il metodo proposto ipotizza che “orizzonte temporale” e “grado di rischio” non agiscano indipendentemente uno dall’altro nella stima dell’andamento futuro del nostro investimento, arrivando ad una formulazione che permette di quantificare questa relazione:

Orizzonte = ( k * rischio / rendimento ) ^ 2

Ora è arrivato il momento di percorrere la strada che ha portato a questo risultato. L’articolo ha un taglio prettamente matematico, mi scuso con chi non troverà l’approccio rigoroso tipico della materia, ma in realtà il mio obiettivo è di offrire un metodo intuitivo che sia accessibile a tutti e di mostrare l’eleganza della matematica applicata.

Distribuzione Normale

Prima di procedere, reputo utile soffermarmi e descrivere brevemente sull’importanza della distribuzione normale. Questa distribuzione è alla base di un numero incredibile di applicazioni pratiche, che vanno dalle scienze naturali a quelle sociali, dall’ingegneria all’economia, ed è ampiamente usata per rappresentare fenomeni complessi. Una definizione è la seguente:

“Nella teoria della probabilità, la distribuzione normale, o di Gauss, è una distribuzione di probabilità continua che è spesso usata come prima approssimazione per descrivere variabili causali a valori reali che tendono a concentrarsi attorno a un singolo valor medio.”
(fonte: Wikipedia)

Ogni distribuzione normale è definita da due soli parametri, μ e σ, che corrispondono alla media e alla deviazione standard della variabile casuale. L’applicazione più nota nel mondo della finanza è quella che utilizza μ e σ per definire rispettivamente il rendimento atteso e il rischio. l suo utilizzo affonda le radici nella Modern Portfolio Theory (MPT), una teoria messa a punto dal premio Nobel Harry Markowitz nel 1952, utilizzata per costruire portafogli che abbiano un ritorno atteso massimo per un dato livello di rischio. La teoria utilizza appunto la media μ e la deviazione standard σ per misurare il rendimento atteso e il rischio di un investimento.

Usare la distribuzione normale può funzionare se la distribuzione dei rendimenti è tendenzialmente simmetrica rispetto ad un valore medio. Facciamo un esempio, le curve riportate nella figura sottostante sono simmetriche rispetto ad un valore medio, indicato con μ, mentre la deviazione standard σ determina la larghezza delle curve. Un investimento che ha una distribuzione molto concentrata vicino alla sua media è considerato poco rischioso, che si accompagna ad un valore di deviazione standard molto basso. Al contrario, un investimento con una distribuzione molto larga è considerato molto volatile, con valore alti di deviazione standard. Questo è uno dei motivi per cui la deviazione standard è così rappresentativa del rischio.

L’ipotesi che la distribuzione dei guadagni e delle perdite di un qualsiasi investimento è una curva simmetrica è sempre accettabile quando si investe in strumenti non derivati, come le azioni, le obbligazioni, le materie prime e i loro relativi fondi ed ETF, mentre non è applicabile con opzioni, certificates e tutti gli strumenti a leva o con strategie short.

Teorema del limite centrale

Nell’articolo precedente abbiamo dedotto le nostre conclusioni affidandoci ad un Trading System che si basa sul lancio di una moneta, limitando il numero delle simulazioni ad un numero minimo, solo dieci, che non può essere rappresentativo di tutti i possibili risultati che si possono avere. Un Trading System basato sul lancio di una moneta, che per semplicità di trattazione chiameremo “TestaCroce“, ci permette di seguire un approccio che consiste nel calcolare tutte le soluzioni teoricamente possibili. La figura seguente mostra tutte queste soluzioni al crescere del numero dei lanci.

• se la moneta è lanciata una sola volta, le possibilità che esca testa o croce sono identiche, il 50%, pertanto o si guadagnano 10€ oppure si perdono 5€. L’istogramma in alto a sinistra riporta proprio questo risultato, le due barre hanno la stessa altezza sia con -5€ sia con 10€.
• Ora proviamo a fare due lanci consecutivi. La tabella seguente ci aiuta a fare i conti: sulla prima riga troviamo il risultato del primo lancio, una possibilità per -5€ ed una per 10€, sulla prima colonna troviamo le possibilità del secondo lancio, sempre -5€ e 10€. Incrociando queste due serie e sommando i valori corrispondenti, troviamo che dopo due lanci abbiamo una possibilità di ottenere -10€ (due lanci negativi), due possibilità di trovare 5€ (un lancio negativo ed uno positivo), una possibilità di avere 20€ (due lanci vincenti). L’istogramma in alto a destra mostra graficamente questo risultato.

• se continuiamo ad usare una tabella per calcolare le probabilità, è possibile trovare il risultato dopo tre lanci, come mostrato di seguito.

	-10€	5€	5€	20€
-5€	-15€	0€	0€	15€
10€	0€	15€	15€	30€

questa operazione di sommare i risultati dei lanci non sarebbe altro che una convoluzione, una funzione matematica usata per trovare la somma di due variabili casuali di cui conosciamo la distribuzione di probabilità. Se per esempio abbiamo la distribuzione storica dei rendimenti di uno strumento finanziario su base mensile, sommiamo dodici volte questa distribuzione con l’ausilio della convoluzione, sarebbe possibile calcolare in modo preciso la distribuzione dei rendimenti su base annuale. Più facile a dirsi che a farsi, perché la convoluzione richiede un numero elevato di calcoli, che se già non sono pochi per il nostro sistema basato su solo due valori come nel lancio di una moneta, diventa proibitivo per uno strumento finanziario che ha una elevata profondità dei dati storici.

Ora, riprendiamo i cinque istogrammi precedenti e per ognuno calcoliamo la media e la deviazione standard:

Lancio	media	Dev.St.
n = 1	2,5€ (μ0)	7,5€ (σ0)
n = 2	5€	10,6€
n = 3	7,5€	13,0€
…	…	…
n = 10	25€	23,7€
n = x	x * μ0	radq(x) * σ0

Media (μ) e deviazione standard (σ) godono di una proprietà molto utile: possono essere calcolate immediatamente dopo aver calcolato media e deviazione standard della prima riga (n = 1), applicando le formule μ = x * μ₀ e σ = radq(x) * σ₀, dove x è il numero dei lanci ed μ₀ ed σ₀ sono rispettivamente la media e la deviazione standard delle prima riga. Per esempio, si nota come la media sia sempre un multiplo di 2,5€, mentre la deviazione standard cresce ad una velocità sempre più bassa, dovuto alla natura della radice quadrata di x.

Risultato interessante, vero? Ma la seguente proprietà lo è ancora di più: se queste medie e deviazioni standard le usassimo per calcolare delle distribuzioni normali (linee rosse) e le sovrapponiamo ai rispettivi istogrammi, troviamo qualcosa di particolare: al crescere delle sequenze, le barre tendono ad assumere un andamento “normale”.

Questo comportamento è figlio del teorema del limite centrale, uno dei più importanti in statistica:

“la somma di n variabili casuali con media e varianza finite tende ad una distribuzione normale al tendere di n all’infinito.“

Qualsiasi sia la nostra distribuzione di partenza, anche quella più strana, dopo un certo numero di iterazioni assumerà un andamento più “normale”. Grazie a questo teorema, abbiamo l’opportunità di spostare la nostra attenzione da un fenomeno complesso, come l’evoluzione temporale di una Equity Line, ad un modello che fa uso della distribuzione normale, il quale permette di analizzare e calcolare in modo preciso i risultati.

Intervallo di Fiducia

Arrivati a questo punto, siamo in grado di formulare alcune importanti considerazioni statistiche sul risultato di TestaCroce dopo 10 lanci. Riprendiamo il grafico e usiamolo per presentare alcuni esempi:

• la probabilità di guadagnare un importo di 25€ è la più alta, circa una su quattro (25%);
• la possibilità di guadagnare un importo compreso tra 10 e 40€ è circa il 65%, che corrisponde alla somma delle tre barre centrali;
• la possibilità di guadagnare un importo di almeno 55€ è circa il 16%, valore che si trova sommando l’altezza delle barre relative agli importi di 55, 70, 85 e 100€.

con apparente facilità, possiamo quantificare in modo preciso le probabilità di guadagno (o di perdita) del nostro Trading System. La domanda che ha maggior interesse per il nostro metodo è:

“qual è la probabilità, in percentuale, di perdere oltre una certa quantità di €?“

la risposta può essere trovata con l’ausilio della grafica, nella quale abbiamo inserito una linea rossa verticale che fissa il valore di nostro interesse, per esempio -10€, per poi sommare i valori delle barre a sinistra di questa linea. Nella figura, le barre che sono a sinistra della soglia sono a -20€, -35€ e -50€, e sommando le loro probabilità troviamo un valore di circa il 6%. La risposta alla domanda è pertanto:

“la probabilità di ottenere dal nostro trading system, dopo 10 lanci, una perdita superiore a -10€ è del 6%“.

Un risultato importante, poiché è possibile determinare la perdita potenziale di un investimento una volta fissata la soglia di riferimento, che è chiamato livello di fiducia. Non è un concetto nuovo in finanza, questo è comunemente chiamato “Valore a Rischio” oppure “Value at Risk” (VaR) ed è usato come misura del rischio. Una volta fissato il livello, la distribuzione normale ci può aiutare a calcolare qual è la percentuale che rimane fuori dall’intervallo di fiducia. Il livello di fiducia può essere calcolato in funzione della media (μ) e della deviazione standard (σ), come mostrato in figura:

livello = μ – k * σ

che può essere riscritto utilizzando i valori della distribuzione di partenza:

livello = n * μ₀ – k * radq(n) * σ₀

dove n è il numero di periodi di osservazione dell’investimento e k è un parametro che può essere scelto arbitrariamente, maggiore è il suo valore, minore è la percentuale di valori che rimangono fuori dall’intervallo di fiducia. La tabella seguente riporta tre valori tipici per k e la corrispondente percentuale dei valori oltre il livello di fiducia.

livello di fiducia	Valori fuori dall’intervallo di fiducia
μ – 1.0 σ	16%
μ – 1.5 σ	7%
μ – 2.0 σ	3%

Un investitore con una tolleranza alta al rischio, può assumere un k basso, lasciando così fuori dall’intervallo di fiducia un alto numero di risultati, confidente che l’investimento non finirà nella zona rossa del grafico. Se invece la tolleranza al rischio è bassa, un k alto permette di avere un livello di fiducia molto a sinistra e di abbassare notevolmente le possibilità di incorrere in una perdita molto alta.

Orizzonte Temporale

Finalmente ora possiamo chiudere il cerchio e ricollegarci al concetto di orizzonte temporale. La mia definizione è la seguente:

L’orizzonte temporale di un investimento finanziario, con rendimento atteso μ₀ e deviazione standard σ₀, è il tempo n necessario al livello di fiducia per assumere valori maggiori di zero.

Questa definizione porta a scrivere l’equazione:

livello = n * μ₀ – k * radq(n) * σ₀ > 0

la quale ha sempre una soluzione se il rendimento atteso μ₀ è positivo:

n > ( k * σ₀ / μ₀ ) ^ 2

Il nostro consueto Trading System TestaCroce ritorna utile per mettere in pratica questa formula. Nel grafico sottostante è visibile in rosso l’andamento del livello di fiducia all’aumentare dei lanci, con k = 1,5. Vediamo che dopo una discesa rapida nei primi lanci, la curva trova un plateau e inizia una lenta risalita, in questo modo riesce ad abbracciare tutte le equity line presenti, lasciando a pochi valori di scendere più in basso. L’orizzonte temporale sarà:

n > ( k * σ₀ / μ₀ ) ^ 2 = ( 1.5 * 7.5 / 2.5 ) ^ 2 = 20.25

un tempo relativamente lungo! La deviazione standard vale tre volte tanto rispetto al rendimento atteso e questo incide molto sul risultato finale.

In conclusione

Il modello proposto non è privo di difetti, per funzionare si deve appoggiare su due ipotesi importanti:

1. la distribuzione dei rendimenti deve seguire un andamento “normale”;
2. la media e la deviazione standard devono rimanere costanti;

nel primo caso, l’uso della distribuzione normale può essere accettata per tutti quegli strumenti non derivati come azioni, fondi ed indici, mentre accettare la seconda ipotesi crea maggiori perplessità, poiché non è possibile trovare serie storiche che mantengano costanti i propri parametri statistici.

E’ bene precisare che modelli come questo sono una rappresentazione sintetica della realtà e servono a cogliere le caratteristiche intrinseche di un sistema, così da avere una migliore comprensione del problema. Anche se il modello non ci fornirà risultati certi sul futuro di un investimento, avremo sempre l’opportunità di conoscere la natura dei nostri strumenti finanziari di nostro interesse e di poter prendere scelte coerenti con i nostri obiettivi e vincoli.

Ci sarà una terza puntata sull’orizzonte temporale che pubblicherò nel prossimo articolo. Avrà un taglio più operativo, calcoleremo i livelli di fiducia di alcuni strumenti finanziari e vedremo come usare questo modello per avere indicazioni utili a comporre un portafoglio che si adatti al proprio orizzonte temporale e alla propensione al rischio.

Buon trading a tutti!

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