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L’articolo, ricco di approfondimenti teorici e pratici, sarà presentato in tre parti per offrire una trattazione completa e più facile da seguire. Nella prima parte esploreremo i limiti della Modern Portfolio Theory, analizzando i principali ostacoli incontrati e i vari tentativi di miglioramento che hanno posto le basi storiche per l’HRP. La seconda parte si tufferà all’interno del modello HRP per comprenderne struttura e funzionamento. Infine, nella terza parte passeremo dalla teoria alla pratica, offrendo un esempio concreto di implementazione e utilizzo.
Nel nostro precedente articolo, Alla Ricerca dei Portafogli Efficienti, abbiamo esplorato la storia affascinante di Harry Markowitz, che ha rivoluzionato la gestione degli investimenti. Partendo dall’idea fondamentale che la diversificazione del portafoglio è l’elemento chiave per gestire il rischio, utilizzando un approccio matematico innovativo che incorporava tecniche avanzate di ottimizzazione e programmazione informatica, il giovane Harry ha tracciato la strada per la costruzione della frontiera efficiente.
La teoria sviluppata da Markowitz, conosciuta formalmente come Modern Portfolio Theory (MPT), ha agito come un catalizzatore, stimolando decenni di ricerca accademica e una vasta gamma di applicazioni pratiche nel mondo degli investimenti finanziari. Dalla fine degli anni ’50 del ventesimo secolo fino ai giorni nostri, chiunque abbia cercato di creare e gestire un portafoglio con l’obiettivo di ottenere buoni rendimenti a un rischio contenuto, ha probabilmente tentato almeno una volta di costruire una frontiera efficiente.
L’uso intensivo della MPT per molti anni ha rivelato i limiti e i difetti di un modello che, pur funzionando bene in ambienti controllati, mostra notevoli difficoltà nell’identificare la migliore allocazione di portafoglio quando applicato ai mercati reali. Per meglio comprendere i limiti della MPT, illustriamo un esempio pratico.
Consideriamo un paniere composto da due ETF e un ETC, rispettivamente basati sull’Europe Stoxx 600, sulle obbligazioni governative dell’area Euro con scadenza a 10 anni e sull’oro fisico. Successivamente, costruiamo una serie di portafogli statici, combinando i pesi dei tre strumenti con incrementi del 5%. Per ciascuna di queste combinazioni, calcoliamo il rendimento e la volatilità nel periodo 2007-2023, utilizzando questi dati come stima del rendimento atteso e del rischio. Infine, tracciamo ogni combinazione di rendimento e rischio su un piano media-varianza.
In Figura 1, è possibile osservare il risultato di questo esempio: la superficie dei possibili portafogli, con i singoli strumenti del paniere evidenziati in rosso agli estremi, e la frontiera efficiente rappresentata nella parte superiore da una linea verde.
Seguendo i principi della MPT, i portafogli ottimali sono quelli posizionati lungo la frontiera efficiente, mentre la scelta tra questi dipende solo dal livello di rischio che un investitore è disposto a tollerare. Semplice, no? Purtroppo, la realtà è più complessa. La superficie generata dalle varie combinazioni di portafoglio non è statica e si sposta nel tempo poiché rendimento atteso e rischio non sono mai costanti.
In Figura 2, vediamo i risultati degli stessi portafogli, ma con i rendimenti attesi e i rischi stimati su un periodo successivo, dal 2020 al 2023. Confrontando questa con la figura 1, mantenendo volutamente la stessa scala nei grafici per evidenziare questo contrasto, notiamo una differenza significativa nella superficie dei portafogli. Negli anni più recenti, il rendimento dell’Europe Stoxx 600 è migliorato notevolmente rispetto al periodo precedente, mentre le obbligazioni hanno subito un forte calo a causa dell’inflazione. Questo si riflette in una marcata deformazione verticale della superficie dei portafogli.
Questo test empirico evidenzia quanto sia difficile stimare una frontiera efficiente e come questa possa subire ampie variazioni nel tempo. È importante notare come i tre strumenti scelti per il nostro paniere si muovano principalmente in verticale nel piano media-varianza. Questo avviene perché, mentre il rischio tende a rimanere relativamente costante nel tempo, il rendimento può variare considerevolmente.
Questa difficoltà nell’applicare la MPT nel mondo reale ha favorito la diffusione dei Lazy Portfolio, che seguono con estrema fiducia gli insegnamenti di Markowitz sulla diversificazione del portafoglio, ma aggirano il problema dell’instabilità della frontiera efficiente distribuendo il capitale con pesi fissi e scelti a priori.
Tuttavia, non tutto è perduto. Dopo numerosi tentativi di risolvere i problemi della frontiera efficiente, l’arrivo dell’apprendimento automatico (Machine Learning) e della sua innovativa cassetta degli attrezzi, ricca di strumenti matematici, ha permesso di superare questo inconveniente.
È su questa scia che in questo articolo faremo la conoscenza dell’Hierarchical Risk Parity (HRP), una vera e propria rivoluzione nella costruzione dei portafogli d’investimento, arrivata circa 60 anni dopo la pubblicazione della MPT.
La Maledizione di Markowitz
Uno dei principali insegnamenti della MPT è che la diversificazione aiuta a migliorare il profilo di rischio di un portafoglio, consentendo di costruire portafogli ottimali in termini di rendimento atteso e rischio. Questa premessa può far pensare che un paniere ampio di strumenti finanziari sia sempre preferibile rispetto a uno più ristretto. Le prove empiriche confermano in parte questa ipotesi: con un paniere ridotto, aggiungere nuovi strumenti consente di ottenere una frontiera più efficiente, che si sposta verso sinistra nel grafico media-varianza, riducendo il rischio per un dato livello di rendimento atteso.
Tuttavia, esiste un limite a questo beneficio. Infatti, se continuiamo ad aggiungere strumenti al paniere, inizialmente otterremo ancora miglioramenti nella frontiera efficiente, ma arriverà un punto in cui l’aggiunta di ulteriori strumenti non produrrà più variazioni significative. È come se il modello MPT non riuscisse a sfruttare pienamente un numero elevato di strumenti, preferendo invece concentrare il capitale su un numero più limitato di strumenti.
Proviamo a eseguire un semplice test empirico. Immaginiamo di avere un portafoglio composto da soli due ETF ideali, uno azionario e uno obbligazionario. Calcoliamo la frontiera efficiente di questo portafoglio, tracciata in Figura 3 con una linea blu.
Ora, aggiungiamo un terzo ETF al nostro paniere, basato su un nuovo indice azionario. Questa aggiunta genera una nuova frontiera efficiente, tracciata con una linea rossa, che si sposta verso sinistra rispetto alla precedente. Questo spostamento indica che, a parità di rendimento atteso, il rischio è diminuito. Ripetiamo l’esercizio aggiungendo un ETC sull’oro al paniere iniziale. La nuova frontiera efficiente risultante, rappresentata dalla linea verde, mostra uno spostamento ancora più marcato verso sinistra rispetto alla linea rossa.
Perché accade questo? Sebbene sia l’oro che le azioni siano considerati classi ad alto rischio, solo l’oro contribuisce effettivamente a ridurre il rischio complessivo del portafoglio.
Questo accade perché l’oro tende a comportarsi in modo diverso rispetto ai mercati azionari, soprattutto in periodi di crisi economica o di alta volatilità, il che lo rende un efficace strumento di diversificazione, più di quanto possa fare un secondo ETF azionario, che aggiunge poco o nulla in termini di diversificazione.
Aggiungere strumenti finanziari che siano strettamente correlati a quelli già presenti nel paniere non offre vantaggi significativi. Questo potrebbe portare a pensare che sia sempre preferibile avere un paniere il più ampio possibile: gli strumenti poco correlati tra loro migliorano la diversificazione, mentre quelli altamente correlati risultano neutrali. Tuttavia, c’è un lato oscuro legato alla presenza di strumenti correlati all’interno del portafoglio: l’instabilità.
Se i valori dei parametri vengono modificati di una piccola percentuale, un modello stabile risponde con variazioni altrettanto contenute nella soluzione. Al contrario, un modello instabile reagisce con cambiamenti ampi e imprevedibili. L’instabilità è una caratteristica particolarmente insidiosa, temuta dagli analisti numerici, perché può facilmente trarre in inganno chi non è in grado di riconoscerla. Questo fattore ha un peso significativo nella valutazione complessiva dei modelli numerici, facendo inevitabilmente pendere l’ago della bilancia verso il lato negativo.
Gli strumenti finanziari correlati tra loro tendono ad aumentare l’instabilità del modello della MPT: piccole variazioni nella correlazione tra questi strumenti possono portare a cambiamenti significativi nella composizione ideale dei portafogli lungo la frontiera efficiente.
Per chiarire questo concetto, consideriamo un esempio basato sui portafogli del test precedente, come illustrato in Figura 3. Il primo è composto dall’ETF obbligazionario, dall’ETF azionario e dal ETC sull’oro, con la seguente matrice delle correlazioni:
| PORTAFOGLIO 1 | Azione 1 | Obbligazione | Oro |
| Azione 1 | 1 | 0 | 0 |
| Obbligazione | 0 | 1 | 0.2 |
| Oro | 0 | 0.2 | 1 |
Nel secondo portafoglio, includiamo l’ETF obbligazionario e i due ETF azionari, con la seguente matrice delle correlazioni:
| PORTAFOGLIO 2 | Azione 1 | Obbligazione | Azione 2 |
| Azione 1 | 1 | 0 | 0.8 |
| Obbligazione | 0 | 1 | 0 |
| Azione 2 | 0,8 | 0 | 1 |
In entrambi i casi, le correlazioni interne tra gli strumenti svolgono un ruolo cruciale nel determinare la stabilità del portafoglio. Nel primo portafoglio, dove l’oro ha una correlazione relativamente bassa con gli altri strumenti, la diversificazione funziona meglio. Al contrario, nel secondo portafoglio, la forte correlazione tra i due ETF azionari (0,8) aumenta il rischio di instabilità. Una piccola variazione in questa correlazione potrebbe portare a un drastico cambiamento nella composizione ottimale del portafoglio, rendendo la frontiera efficiente molto più sensibile alle fluttuazioni del mercato.
Supponiamo di voler selezionare la combinazione di pesi più efficiente associata a un rischio del 9% per entrambi i portafogli. Per il primo portafoglio, la combinazione dei pesi più efficiente risulta essere 46% obbligazionario, 26% azionario e 28% oro. Per il secondo portafoglio, la combinazione ottimale è 29% obbligazionario, 49% primo ETF azionario e 22% secondo ETF azionario.
Ora, introduciamo una piccola perturbazione nelle matrici delle correlazioni. Supponiamo che la correlazione tra il primo ETF azionario e l’ETF obbligazionario passi da 0 a 0,1, mentre tutte le altre correlazioni rimangono invariate.
Ricalcolando le combinazioni dei pesi più efficienti per un rischio del 9%, otteniamo per il primo portafoglio una nuova combinazione con 43% obbligazionario, 27% azionario e 30% oro, per il secondo portafoglio diventa 19% obbligazionario, 51% primo ETF azionario e 30% secondo ETF azionario.
La Figura 4 illustra come la perturbazione nella correlazione tra l’ETF azionario e l’ETF obbligazionario influisca sui due portafogli:
- Il portafoglio 1 subisce una variazione minima. Il peso dell’azionario si riduce di circa il 3%, evidenziando una tendenza stabile rispetto alle variazioni della correlazione. Questo portafoglio dimostra una maggiore resilienza, mantenendo una composizione relativamente invariata nonostante la perturbazione.
- Il portafoglio 2 subisce una variazione più significativa. Il peso del primo ETF azionario si riduce del 10%, con la maggior parte di questo peso che confluisce nel secondo ETF azionario. Questo comportamento evidenzia una maggiore instabilità del portafoglio, poiché una piccola modifica nella correlazione ha generato un cambiamento sostanziale nella distribuzione dei pesi.
L’errore nella stima delle correlazioni è facile da commettere, e un passaggio da 0 a 0,1 potrebbe sembrare trascurabile. Tuttavia, mentre questo errore è quasi irrilevante in portafogli ben diversificati, come il portafoglio 1, diventa molto più problematico in presenza di strumenti finanziari correlati. In questi casi, l’errore nella stima si propaga e si amplifica, portando a soluzioni significativamente diverse e meno affidabili.
Quando un portafoglio include un gran numero di strumenti, la matrice delle correlazioni diventa più complessa, aumentando il rischio di errori di stima. Inoltre, la probabilità di includere coppie di strumenti strettamente correlati cresce, il che a sua volta rende le soluzioni più instabili. Questo fenomeno è noto come “la maledizione di Markowitz”:
Più gli strumenti all’interno del portafoglio sono correlati tra loro, maggiore è la necessità di aggiungere nuovi strumenti per recuperare diversificazione, aumentando così la presenza di strumenti correlati tra loro, aumentando l’instabilità delle soluzioni ottenute dalla MPT.
Oltre la MPT
La MPT, nonostante sia ed è tuttora un punto di riferimento teorico importante, ha presentato fin dall’inizio delle forti limitazioni alla sua applicazione pratica. Negli anni, molti ricercatori affrontarono diversi tentativi per risolvere o almeno mitigare i difetti della MPT. Vediamo alcuni tentativi:
La MPT, pur rimanendo un pilastro teorico fondamentale, ha rivelato fin da subito significative limitazioni nella sua applicazione pratica. Nel corso degli anni, numerosi ricercatori hanno cercato di affrontare e mitigare queste debolezze, proponendo delle varianti al modello classico della MPT:
- Vincoli di Peso. Uno dei primi miglioramenti è stato l’introduzione dei vincoli di peso all’interno del modello MPT. Poiché i portafogli efficienti tendono a concentrare il capitale su un numero limitato di strumenti, imponendo dei limiti sui pesi si forza il modello a diversificare l’allocazione. In questo modo si riduce il rischio di eccessiva esposizione a pochi strumenti e si promuove una distribuzione più equilibrata, evitando concentrazioni eccessive o insufficienti.
- Tecnica del Resampling. Un approccio che utilizza il ricampionamento dei parametri per creare una serie di scenari diversi tra loro. Gli scenari forniscono un insieme di soluzioni diverse tra loro, tutte queste soluzioni vengono poi combinate tramite una media, riducendo l’influenza di stime inaccurate.
- Stimatori Bayesiani. Gli stimatori bayesiani espandono il set di dati utilizzato per stimare i parametri iniziali, andando oltre la semplice analisi tecnica e includendo anche l’analisi fondamentale e le valutazioni degli asset manager. Un esempio particolarmente rilevante è il modello Black-Litterman, che integra le previsioni soggettive sugli andamenti futuri del mercato con le stime analitiche, consentendo una costruzione di un portafoglio più flessibile e personalizzato.
- Shrinkage Estimators. Questa tecnica numerica mira a migliorare la stabilità della matrice delle covarianze, riducendo l’impatto degli elementi che contribuiscono maggiormente all’instabilità, migliorando così i risultati del modello MPT.
Queste soluzioni non hanno mai davvero preso veramente piede tra gli investitori, poiché non risolvono alla radice le problematiche insite nel modello originale. Non sorprende quindi che nei primi anni 2000 abbiano fatto il loro ingresso i Lazy Portfolios, strategie che hanno cavalcato le difficoltà della MPT di adattarsi a un contesto finanziario in rapida evoluzione. I Lazy hanno proposto una soluzione basata sulla semplicità: anziché fare affidamento su complessi algoritmi per determinare la combinazione ottimale di pesi, questi ultimi vengono fissati a priori e in modo arbitrario, spesso suddividendo il capitale in maniera equipesata. Con i Lazy Portfolios, non è necessario stimare i rendimenti attesi o la matrice delle covarianze, semplificando così l’intero processo di costruzione del portafoglio.
I Lazy Portfolios sono saliti alla ribalta durante la crisi finanziaria del 2007-2009. Portafogli come il Permanent e il Golden Butterfly, divenuti celebri in seguito, hanno dimostrato una notevole resilienza e una capacità di adattarsi ai diversi scenari di mercato. La loro performance durante un periodo di estrema incertezza ha portato a riconsiderare i modelli tradizionali di gestione del portafoglio, generando un’ondata di pressione da parte degli investitori verso i ricercatori affinché sviluppassero nuovi strumenti per affrontare le sfide poste dal mercato post-crisi Lehman Brothers.
La risposta non si è fatta attendere, e negli anni successivi al 2010 sono emersi modelli basati sul rischio. A differenza dei modelli tradizionali, come il MPT di Markowitz, che considerano sia il rischio sia il rendimento per stimare la migliore allocazione del portafoglio, i nuovi modelli si concentrano esclusivamente sul rischio. Questa scelta nasce dalla consapevolezza che stimare il rendimento atteso è particolarmente difficile e che gli errori in questa stima possono compromettere significativamente la stabilità del modello. Il modello più noto tra quelli basati sul rischio è il Risk Parity, il cui approccio è stato adottato da Ray Dalio nel suo celebre fondo di investimento All Weather già negli anni ’90.
Nonostante il successo ottenuto e la rapida diffusione nel mondo dell’investimento del Risk Parity, in particolare dopo aver attraversato indenne la crisi finanziaria del 2008, questi modelli non risolvono completamente tutti i problemi di instabilità. Rimangono, infatti, sensibili alle difficoltà legate alla stima della matrice delle covarianze, sebbene non nella stessa misura degli errori di stima del rendimento atteso. Come illustrato nel paragrafo precedente, anche un piccolo errore nella stima di una correlazione può generare un errore significativo nei pesi del portafoglio, un problema amplificato in presenza di un ampio paniere di elementi e di forti correlazioni tra di essi, finendo così per incorrere nella maledizione di Markowitz.
Il vero punto di svolta si verificò nel 2016, quando Marcos Lopez de Prado, un accademico spagnolo rinomato per il suo lavoro innovativo nel campo della finanza quantitativa e dell’analisi dei dati, introdusse un nuovo metodo di costruzione del portafoglio conosciuto come Hierarchical Risk Parity (HRP). Questo metodo, che rientra nella famiglia dei modelli basati sul rischio, integra tecniche moderne come la teoria dei grafi e l’apprendimento automatico non supervisionato per affrontare le criticità dei modelli tradizionali.
L’HRP si distingue per la sua capacità di migliorare significativamente la stabilità dei portafogli, offrendo una soluzione più robusta e diversificata rispetto ai modelli tradizionali, e di poter gestire grandi panieri e con forti correlazioni.
Conclusione
Il modello HRP segna un avanzamento significativo nell’evoluzione della gestione dei portafogli, superando le limitazioni dei modelli tradizionali e offrendo approcci più stabili ed efficaci rispetto ai lazy portfolio. Tuttavia, la sua efficacia si basa su una solida base matematica, che merita un’analisi più approfondita.
Nel prossimo articolo, approfondiremo gli aspetti matematici fondamentali dietro l’HRP, svelando i meccanismi che ne regolano l’implementazione e il suo successo nella pratica finanziaria.
Restate sintonizzati per il prossimo articolo!
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